傅里叶变换的目的是可时域将（即时间域）上的信号转变

傅里叶变换 (FT)

傅里叶变换的目的是将时域（即时域）的信号转换为频域（即频​​域）的信号。，所以一些在时域中不容易处理的地方，在频域中可以轻松处理。

傅里叶变换公式：

（w代表频率，t代表时间，e^-iwt是复函数）

傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任何函数（信号）f(t)都可以通过添加多个周期函数（基本函数）来合成。

从物理上看e的t次方的傅里叶变换，傅里叶变换是以一组特殊函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换。物理意义是原函数在每组基函数上的投影。

傅里叶公式推导：

我们首先导出函数 f(t) 作为周期函数，然后导出非周期函数的傅里叶变换。傅里叶公式一般是指非周期行函数的傅里叶变换（FT）。

(1）对于周期为 1 的函数 f(t)：

（这里的x用t next表示）

根据欧拉公式

这里的Ck是复数，Ck一般称为傅里叶系数。在通常的频域变换中，Ck 一般是变化的。

例如，该图中频域方向图的每个频域值就是Ck的值

接下来，找到 Ck 的值

取决于

整合双方的功能

（上面的k指的是频域中的x坐标e的t次方的傅里叶变换，每个k值是一种赫兹，t代表时域中的时间）

因为要模拟一个信号，不能通过加入有限个周期函数来确定信号，会有很大的误差，无法得到完全的逼近，所以我们用无限周期函数来逼近

由此可见，傅里叶变换是时域与频域的转换关系。

(2）对于非周期函数 f(t)

对于一个信号的处理，信号一般不是周期性的，所以这里就产生了对非周期函数（信号）的处理。

对于非周期函数，我们可以假设非周期函数是周期函数的一部分，但是这个非周期函数的 t 范围可以很大。

傅里叶变换是在周期接近无穷大时傅里叶系数的推广

傅里叶逆变换是傅里叶级数的推广

设 f(t) 为周期为 T 的函数，T 作为周期函数接近无穷大

傅里叶级数 [f(t)] 转换为

傅里叶系数为（注：由于无限周期T，从0->T等于(-T/2）->(T/2))

您在频谱图中看到的每条垂直线都是 |CK| 的值

这是在时域中对函数图像进行傅里叶变换的频谱图。

重要的一点是：

对于周期为 1 的函数，频域中每条线的间隔为 1

对于周期 T 的函数，频域中的间隔为 1/T

时域周期与频域成反比。

即 T1/T>1 谱将扩大

当 T>1 ->1/T

特别是随着T接近无穷大，光谱间距越来越近，最终光谱变得连续。

由此，我们可以得到一个经常看到的短语，即时域由周期性转为非周期性，频域由离散转为连续。

似乎将非周期函数视为周期函数的一部分可以得到傅里叶变换的结果？

其实这并不完全正确。因为随着 T 接近无穷大，Ck 趋于零，使得整个傅立叶系数的公式变得毫无意义：

令f(t)在区间a和b之间为0，取大周期T使得a>-T/2&&b>T/2，然后以T为函数展开（|Ck|是复函数，所以约x轴对称）

如下所示：

（a,b 之外的函数是 0）

（负指数的值为 1）

此时这个值为固定值M

这是

即，Ck=0。

即使每个频率的系数为0，这个f(t)有什么用。

为此，我们换个角度来看

让公式 gf 是 k/T 的函数： gf(k/T)

（即Ck不需要1/T的部分）

（这与上面推导 f(t) 的结果相同）

因为T->∞，gf(k/T)中的离散变量k/T越来越近，1/T，2/T，3/T……这样，函数从离散变为连续的，我们将这个 k/T 连续变量设置为 s

所以

关于f(t)，f(t)可以看成是无穷多个连续的gf(s)e^2πist，乘以1/T形成累加，转化为积分。这是

这样，我们最终得到傅里叶变换公式（FT）（傅里叶变换也可以称为算子）：

顺便提一下傅里叶逆变换公式：

文章参考：

斯坦福大学课程：傅里叶变换及其应用